面積の問題は補助線の前に「等しい面積」を探す｜等積変形・移動・引き算の3つの見方【中学受験算数】

図形の面積の問題で、子どもが補助線を何本も引いたまま、式に進めずに固まってしまう。解説を見ると1本の線で解けるのに、どうしてその線を思いつくのか分からない。図形が苦手な子の家庭では、よく見かける場面だと思います。

結論から言うと、補助線を探す前に「等しい面積」を探すのが近道です。同じ底辺と高さを持つ三角形はないか、切って移せる部分はないか、全体から引けないか。この3つの問いを順番に投げかけると、線を引く場所は自然に決まってきます。

面積が解けない原因は、計算より図の読み取り

面積の公式は言えるのに解けない場合、公式を当てはめる図形がまだ見えていないことがほとんどです。斜めの辺を高さと思い込む、重なった部分を2回数える、求めなくてよい長さを追いかけ始める。こうした迷いは式の間違いとして表に出てきますが、出発点は「図のどこを比べるか」にあります。

まずは問題文が求めている部分だけを薄く色で塗り、そのまわりにどんな図形があるかを眺めます。塗ってみると、求める部分が三角形の組み合わせなのか、大きな図形から何かを引いた残りなのかが見えてきます。

補助線の前に投げかける3つの問い

問い1：同じ底辺と高さを持つ三角形はないか

三角形の面積は「底辺×高さ÷2」なので、底辺と高さが同じなら、形が違っても面積は等しくなります。とくに、平行な2本の線の間にある三角形は、同じ底辺を共有していれば、頂点を平行な線の上でどこに動かしても面積が変わりません。これを等積変形といいます。

台形や平行四辺形の中にある三角形の問題では、まず平行な辺を見つけ、その間にある三角形を探してください。求めにくい形の三角形が、底辺と高さの分かる三角形と同じ面積だと気づけば、計算はぐっと簡単になります。

問い2：切って移せる部分はないか

図形の一部を切り取って別の場所に移しても、面積は変わりません。半円や扇形が組み合わさった図形では、出っぱった部分を、へこんだ部分にぴったり移せることがよくあります。移したあとの形が正方形や長方形になれば、あとはかけ算だけです。

移せるかどうか迷ったら、実際に紙に図を写して、はさみで切って重ねてみるのがおすすめです。一度手で確かめておくと、次からは頭の中で移せるようになります。

問い3：全体から引く部分はどこか

求める部分を直接計算しにくいときは、まわりを含めた大きな図形の面積を先に求め、そこから余分な部分を引きます。色をつけた部分の外側に、計算しやすい三角形や扇形が並んでいないかを探してみてください。

▶ 補助線そのものの見つけ方はこちらで整理しています：中学受験算数｜図形で補助線が引けない子へ　家庭で「見る順番」を整える3ステップ

面積の問題を解く4つの手順

3つの問いを使って、実際の解き方を4つの手順にまとめます。

手順1は、求める部分を色で塗ることです。どこを求めるのかがはっきりすると、関係のない線に目がいかなくなります。手順2は、分かっている長さだけを図に書きこむことです。分からない長さは無理に埋めず、空けておきます。

手順3は、平行な線と直角を探すことです。三角形の高さは、底辺に垂直な長さです。直角の記号がどこにあるか、平行な線はどれかを確かめると、どの長さが高さになるのかが決まります。手順4で、等しい面積の部分を別の色で塗り、そこで初めて式を書きます。

高さが同じ三角形は「面積の比＝底辺の比」

入試でとてもよく使うのが、高さが同じ三角形どうしの面積の比です。高さが同じなら、面積は底辺に比例するので、面積の比は底辺の比と同じになります。

たとえば、三角形の底辺を3：2に分ける点から頂点に線を引くと、できた2つの三角形の面積の比も3：2です。全体の面積が分かっていれば、それぞれの面積は比で分けるだけで求められます。高さを計算しなくてよいので、長さの情報が少ない問題ほど威力を発揮します。

この考え方を使うときは、2つの三角形の頂点が共通で、底辺が同じ直線の上にあるかを必ず確かめます。条件がそろっていないのに比を使うと、答えがずれてしまいます。

例題で3つの問いを使ってみる

たとえば、上底4cm、下底10cm、高さ6cmの台形ABCD（ADとBCが平行）で、対角線の交点をOとし、三角形ABOと三角形DCOの面積を比べる問題を考えてみます。

問い1を使います。三角形ABCと三角形DBCは、底辺BCが共通で、頂点AとDは平行な線AD上にあるので、高さが同じです。つまり面積が等しくなります。この2つの三角形から、共通部分の三角形OBCを引くと、残りは三角形ABOと三角形DCOです。等しい面積から同じものを引いたので、三角形ABOと三角形DCOの面積は等しいと分かります。

この問題では、補助線を1本も引いていません。平行な線を見つけ、同じ底辺の三角形を探し、共通部分を引いただけです。問い1と問い3を組み合わせると、こうした「線を引かずに解ける」問題がたくさんあります。

よくある3つの間違い

1つ目は、斜めの辺を高さとして使ってしまうことです。高さは底辺に垂直な長さなので、直角の記号がどこにあるかを必ず確かめます。とくに、鈍角三角形では高さが三角形の外側に出ることがあり、ここで迷う子が多くいます。

2つ目は、重なった部分を2回数えてしまうことです。2つの図形を足して求めるときは、重なりがないかを色で確かめ、重なっていればその分を1回引きます。

3つ目は、円や扇形の面積で、半径と直径を取り違えることです。図に書かれた長さが半径なのか直径なのかを、計算の前に声に出して確かめるだけで防げます。

解説を読むときの親子の分担

解説を読むときは、親が先に全部を説明してしまわないことが大切です。子どもに解説の図を見てもらい、「この線を引くと、どこが同じ面積になる？」と聞いてみてください。子どもが指でさし示せたら、その理由を言葉にしてもらいます。

親が答えを言う前に、少なくとも30秒ほどは待つのがおすすめです。沈黙が続くと何か言いたくなりますが、子どもが図を見ている時間こそ、考えている時間です。それでも手が止まったら、「平行な線はどれ？」のように、3つの問いのどれかを1つだけ投げかけます。

翌日に残すメモは短く具体的に

解き直しが終わったら、ノートに「平行な線の間の三角形を見落とした」「半円を移せば正方形になった」のように、気づいたことを1行だけ書いておきます。翌日はそのメモを読んでから、同じ問題を白紙から解き直します。

正解した問題にも確かめる余地がある

正解した問題でも、「ほかの見方でも解ける？」と聞いてみてください。等積変形で解いた問題を全体から引く方法で解き直すと、答えが一致することで理解が深まります。

よくある質問

Q. 補助線のパターンを覚えたほうが早いですか？

A. よく出る形を知っておくことは役に立ちます。ただ、パターンだけを覚えると、少し形が変わった問題で手が止まりがちです。「等しい面積を探すために線を引く」という目的が分かっていれば、覚えたパターンも応用しやすくなります。

Q. 図をきれいに描けません。

A. きれいさより、平行や直角の関係が分かることが大切です。方眼のノートを使い、平行な線だけは定規で引くようにすると、図の読み違いが減ります。

Q. どの問いから試せばいいですか？

A. 平行な線があれば問い1、円や扇形が組み合わさっていれば問い2、求める部分が図の真ん中にあれば問い3から試すのがおすすめです。迷ったら3つを順番に確かめれば十分です。

面積の問題で確かめる5つのチェック

• □ 求める部分を色で塗った
• □ 底辺に垂直な高さを使った
• □ 平行な線の間の三角形を探した
• □ 重なった部分を2回数えていない
• □ 答えを図に戻して確かめた

小6の11月〜入試直前にこの記事を使うなら

過去問で面積の問題に時間を取られたら、解き直す前に「等積変形・移動・引き算」のどれで解けたかを1語で書いてください。どれを使うか決めてから手を動かすだけで、本番での迷う時間が短くなります。

まとめ：線を引く前に、等しい面積を探す

面積の問題は、補助線を探す前に「同じ底辺と高さ」「切って移せる部分」「全体から引く部分」の3つを問いかけると、線を引く場所が見えてきます。高さが同じ三角形の面積の比を合わせて使えば、長さの情報が少ない問題にも対応できます。

今日の復習では、問題集の面積の問題を1つ選び、求める部分を色で塗るところから始めてみてください。

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