場合の数の「並べ方」と「選び方」の違い｜表と樹形図で数えもれを防ぐ家庭学習【中学受験算数】

2026年10月13日2026年11月14日

場合の数の問題で、解き直すたびに答えが変わる。式は合っているように見えるのに、なぜか正解と数が違う。そんなときは、計算の速さより先に「何を1通りと数えているか」を確かめてみてください。

結論から言うと、場合の数のつまずきの多くは「並べ方」と「選び方」の取り違えから起きています。順番や役割を区別する問題と、組を選ぶだけの問題では、同じ人数でも答えが変わるからです。この区別を最初に言葉にしてから、表や樹形図で1つずつ書き出すと、数えもれも重複もぐっと減ります。

この記事でわかること

場合の数の「並べ方」と「選び方」の見分け方
表と樹形図の使い分けと、数えもれ・重複を防ぐ4つの手順
条件がついた問題の数え方と、家庭でできる15分の復習

まず「並べ方」と「選び方」を見分ける

A・B・Cの3人から2人を選ぶ場面で考えてみます。会長と書記を1人ずつ決めるなら、「会長A・書記B」と「会長B・書記A」は別の結果です。会長は3人の誰でもよく、書記は残りの2人から選ぶので、3×2＝6通りになります。これが並べ方です。

一方、同じ仕事をする係を2人選ぶだけなら、「AとB」と「BとA」は同じ組です。6通りの中には、入れかえただけの組が2つずつ含まれているので、6÷2＝3通り。これが選び方です。

問題文に「順番」「役割」「位置」「1番目と2番目」といった言葉があるかどうかが、見分けの手がかりになります。ただし「先に選んだ人」という時間の順番は、結果を区別する理由にはなりません。結果を2つ具体的に書いて、「これとこれは違う1通り？」と子どもに聞いてみるのが一番確実です。

なぜ「÷2」になるのかを表で見せる

表の行と列にA・B・Cを書き、交わるマスに組を書き込むと、AとBのマスとBとAのマスが対角線をはさんで向かい合います。同じ人が交わるマスは、同じ人を2回選べないので使いません。残る6マスのうち、向かい合う2マスが同じ組を表しているので、片方だけを数えれば3通りです。

式だけで「選ぶときは割る」と覚えると、なぜ割るのかが抜け落ちて、別の問題で割るべきでないところまで割ってしまいます。表を一度描いて対になっているマスを見せると、割る理由が目で分かります。

数えもれを防ぐ4つの手順

手順1：「1通り」を言葉にする

リボンの色が赤・青・黄の3種類、バッジの形が丸・星の2種類あり、それぞれ1つずつ選ぶとします。この問題の1通りは「リボンの色とバッジの形を組にした完成品」です。完成品を2つ書いてみて、何が違えば別の1通りなのかを親子で確かめます。

手順2：1つの条件を固定して順に書く

赤を固定して丸、星と合わせ、赤が終わったら青、最後に黄と進みます。途中で「青と星」を思いついても、赤を終えるまでは書きません。思いついた順に書いた答案は、正しい組が入っていても、抜けがないかを自分で点検できないからです。順番を決めることは、考えを狭めるためではなく、最後に正しさを確かめるための準備です。

手順3：表か樹形図に移す

2つの選択を組み合わせるだけなら、行と列の表が見やすいでしょう。リボンを行、バッジを列に置けば、3行×2列で6つのマスがすべての組になります。選ぶ段階が3つ以上ある問題や、途中で選べないものが出る問題は、樹形図のほうが向いています。

樹形図では、枝の先にある完成した組だけを数えます。途中の「赤」という分かれ目を1通りと数えないように気をつけます。枝と枝の間を少し空けて描くと、線が交差せず見落としが減ります。

手順4：重複と空欄を点検する

すべて書き出したら、入れかえただけの組がないかを探し、見つけたら線で結んで片方に印をつけます。最初から重複を避けようとして手が止まる子には、いったん全部書き出してから整理するほうが取り組みやすいでしょう。表で解いたなら樹形図で、樹形図で解いたなら表で答えを確かめ、2つが一致すれば安心です。

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条件がつくと数え方はどう変わる？

たとえば「赤のリボンには星のバッジを合わせられない」という条件がつくと、赤の枝からは丸だけが伸びます。青と黄はそれぞれ2本なので、1＋2＋2＝5通りです。すべての枝が同じ本数ではないので、3×2をそのまま使うと間違えます。子どもには「赤から星への線を描かなかった理由」を言ってもらい、条件を図に反映できたかを確かめます。

「少なくとも1つは赤か青を使う」のような条件では、全体から条件に合わないものを引くほうが速いことがあります。まず制限なしの組を同じ順番で並べ、条件に合わない組に薄く印をつけてから、その数を全体から引きます。「最初から枝を出さない数え方」と「全体から引く数え方」の両方で答えを出し、一致するかを確かめると、理解がぐっと深まります。

人数が増えたときの考え方

5人から3人を並べるなら5×4×3＝60通りです。選ぶだけなら、同じ3人の並び方が3×2×1＝6通りずつ重なっているので、60÷6＝10通りになります。ここでも、いきなり式に飛ばず、まず小さな人数で表や樹形図を描き、「なぜ6で割るのか」を確かめてから人数を増やすのがおすすめです。

よくある3つの間違い

途中の分かれ目まで数えてしまう

樹形図を描いたあと、線の数や分かれ目の数まで足してしまうことがあります。数えるのは、いちばん右にある完成した組だけです。枝の先に丸をつけてから数えると、取り違えが防げます。

「同じものは使えない」を見落とす

「同じ数字を2回使わない」「同じ人は2つの係を兼ねない」といった条件は、問題文の後半に短く書かれていることが多く、読み落としやすいところです。読みながら条件に波線を引き、表なら使えないマスに斜線を入れておくと、書き出しの途中で思い出せます。

0や同じ数字が入るときの特別扱いを忘れる

数字のカードで整数を作る問題では、0は先頭に置けません。また、同じ数字のカードが2枚あると、入れかえても同じ数になります。こうした特別な条件は、樹形図の最初の段で枝を出すかどうかを決める場面に効いてきます。最初の段だけは、1本ずつ「この枝は作れる？」と確認しながら描くと安全です。

家庭で15分だけ試す復習の流れ

最初の3分で問題文を読み、「1通り」を短く言って結果の例を2つ書きます。次の5分で1つの条件を固定して組を並べ、表か樹形図のどちらかに移します。続く4分でもう一方の図で答えを確かめ、最後の3分で重複と空欄を点検して、気づいたことを1文で残します。

同じ問題を解き直す日は、前に描いた図をすぐには見せません。白紙に「何を固定したか」「完成した結果はどこか」を先に描いてもらい、最後に前回の図と比べます。時間がない日は、1問の中の1つの枝だけ描き直すだけでも、点検の動きは身につきます。

親の声かけは答えではなく「点検する場所」へ

答えが違ったとき、「掛け算でしょう」と式を教える前に、「このマスは何を表している？」「赤の枝は最後まで描いた？」「同じ組を2回数えていない？」と、図の場所を指して聞いてみてください。子どもが自分で空欄や重複を見つけられたら、その発見をノートに残しておきます。答えの数字を直すより、どの点検が効いたのかを覚えておくほうが、別の題材の問題にも使えます。